数学立体几何-线面垂直判定定理的证明

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，希望能够帮助到您
。

证明：已知直线L1

L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1

L2所在平面内任意1条不与L1

L2重合或平行的直线（重合或平行直接可得它与L1平行）

在L3上取E、F令OE=OF ，

分别过E 、F作ED
、FB交L2于D、B

（令OD=OB）则⊿OED

≌⊿

OFB

（SAS）

延长DE 、BF分别交L1于A
、C

则⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等）。

所以OA=OC
，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB

因为L3垂直于L1

L2所以MA=MC，MD=MB

所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以

角MAE=

角MCF

所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）

所以ME=MF ，所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS）
，所以角MOE=角MOF

又因为

角MOE与

角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度 ，即L⊥L3

高中数学证明垂直的方法

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明 。方法如下（难以建立坐标系时再考虑）：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行
。2.公理4（平行公理）。3.线面平行的性质 。4.面面平行的性质
。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点 。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行
。3.两平面平行
，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点 。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行
。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直 。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直
。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面 ，那么另一直线也与此平面垂直 。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直
。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线
，那么这两个平面垂直 。

高中数学证明垂直的方法如下：

证明线线垂直、线线平行 、线面垂直
、线面平行、面面垂直 、面面平行是高中立体几何经常遇到的问题，它们之间相互联系 ，相互转化
，同时还需要我们进行适当的运算，才能达到目的
。我们通过融合前后所学知识点 ，通过各种方法来完成证明任务
，以此达到触类旁通，内化为自己所能.下面介绍一道用多种方法来证明线线垂直的问题 ，希望能够打通各种证题思路
，夯实学习基本功，为您带来一点启示与帮助。

一
、问题呈现：

如图 ，在四棱锥P-ABCD中
，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC ，∠BAD=90°，PA⊥底ABCD
，且PA=AD=AB=2BC，M为PG的中点 。

（1）求证：PB⊥DM；

（2）求AC与PD所成角的余弦值
。

下面着重探究第（1）小问的各种证法 ，第（2）小问解答从略。

证法一:坐标法 。

如图1
，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，不妨设PA=AD=AB=2BC=4
，则A（0,0,0）,B（4,0,0）,C（4,2,0）,D（0,4,0），P（0,0,4） ，M（2
，1，2）
。

评析：此法采取“坐标法 ”来计算向量PB和向量DM的数量积为零来证明PB⊥DM.建立恰当的空间直角坐标系 ，把相关点的坐标一一表示出来
，这里注意到已知线段之间的倍数关系，设较长线段长度为常数4便于用整数来表示所有向量坐标 ，从而可简化计算.此法要求对相关点必须准确表示，应用好数形结合思想。

证法二:应用一条直线平行于另一条直线所在平面的法向量 。

如图2
，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，不妨设PA=AD=AB=2BC=4
，连接AM，则A（0,0,0） ，B（4,0,0）
，C（4,2,0），D（0,4,0） ，P（0,0,4）
，M（2，1 ，2）。

评析：我们不难发现AD⊥平面PAB
，得到PB⊥AD，又要证此法PB⊥DM ，由此可以推断PB⊥平面ADM.于是问题可转化为证PB与平面ADM的法向量是平行向量
。

证法三:基向量法。

接上图：

接上图：

评析：此法采取“基向量法
”来证明PM⊥DM 。先以向量AB、向量AD 、向量AD为一组基底向量，且设题设中较长线段的长度为2
，然后通过向量运算即可证明
。此法多次利用垂直向量的数量积为零的等价性，证明过程直截了当 ，只需耐心运算就能完成目标。

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