极坐标下二重积分的计算

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极坐标下二重积分的计算方法如下：

极坐标下的二重积分是?x^2+y^2，特别是含有它们的分数方次的情况。例如以下两种情形通常的二重积分使用极坐标计算：

积分区域D与圆有关（可以是部分圆域，例如圆周与直线所围成的区域）。被积函数f（x，y）中含有形如x?+y?，xy，y/x ，x/y的式子。

若1 、2同时满足，则必定要采用极坐标计算，但如果仅满足其中一个，特别是1不满足时，有时用直角坐标计算反而更方便。

二重积分几何意义：

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分，其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。?

数值意义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

如函数，其积分区域D是由所围成的区域。其中二重积分是一个常数，不妨设它为A 。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。?

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A ，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。?

利用积分区域关于y=x对称、转化成极坐标求解。

设x=ρcosθ ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/4，0≤ρ≤asecθ。∴原式=2∫(0,π/4)dθ∫(0,asecθ)ρ?dρ 。

而，∫(0,asecθ)ρ?dρ=ρ?/3丨(ρ=0,asecθ)=(asecθ)?/3。∴原式=(2a?/3)∫(0,π/4)sec?θdθ。

又，2∫sec?θdθ=secθtanθ+ln丨secθ+tanθ丨+C 。∴原式=[√2+ln(1+√2)]a?/3。

供参考。

解：（5）原式=∫<0,2π>dθ∫<π,2π>r*sinrdr (作极坐标变换)

=2π(-3π) (应用分部积分法)

=-6π^2；

（6）原式=∫<0,π/2>dθ∫<1,2>θ*rdr (作极坐标变换)

=∫<0,π/2>θdθ∫<1,2>rdr

=((π^2/8)(2-1/2)

=3π^2/16。

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