什么是定积分和不定积分？

网上有关“什么是定积分和不定积分？
”话题很是火热
，小编也是针对什么是定积分和不定积分？寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题 ，希望能够帮助到您。

例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx 。

主要内容：

通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识
，介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤
。

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根式换元法：

设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,

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根式部分凑分法

∫x√(x+2)dx

=∫x√(x+2)d(x+2),

=2/3∫xd(x+2)^(3/2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,

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整式部分凑分法

A=∫x√(x+2)dx,

=(1/2)∫√(x+2)dx^2,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,

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=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

即：(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。

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不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数 ，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中
，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数 ，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx）
，即∫f(x)dx=F(x)+C 。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数 ，x叫做积分变量
，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量 ，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分
。

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不定积分的计算

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数
，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数 ，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的主要计算方法有:凑分法 、公式法
、第一类换元法、第二类换元法 、分部积分法和泰勒公式展开近似法等 。

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例如计算定积分∫[-1,1](x+1)dx的值

主要内容：

本文通过定积分直接计算法
、定积分定理和定积分的几何意义等方法
，介绍计算定积分∫[-1,1](x+1)dx值的主要思路和步骤
。

方法一：定积分直接计算法

∫[-1,1](x+1)dx

=1/2x^2+x[-1,1]

=1/2(1^2-1^2)+2=2。

方法二：定积分定理计算法

定理：奇函数在对称区间上的积分为0 。

∫[-1,1](x+1)dx

=∫[-1,1]xdx+∫[-1,1]dx

=0+x[-1,1]=2
。

方法三：定积分几何意义法

∫[-1,1](x+1)dx表示的是直线y=x+1与x1=-1,x2=1

围成区域的面积。可见此时是如图阴影部分的面积，

有：y1=-1*1+1=0,d2=1*1+1=2,

面积S=(1/2)*2*2=2,

即为所求的定积分值 。

定积分：

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续 ，用分点xi将区间[a,b]分为n?个小区间
，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3?,n）?，作和式f(r1)+...+f(rn)? ，当n趋于无穷大时
，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)?在区间上的定积分.

这里 ，a?与?b叫做积分下限与积分上限
，区间[a,b]?叫做积分。

高等数学 请教一个多元函数求定积分问题

利用留数计算定积分要注意问题如下：

1、微积分：

在微积分学中，留数定理是-项重要的工具它提供了让算某些复杂积分的有效方法
。留数定理可以用来计算具有奇点的函数的积分 ，其中奇点是指函数在某些点上的取值无穷大或无定义的点留数定理的积分公式可以表示为:

(f(z)dz)=2Ti* sum(Res(fzi)

其中，6表示沿着某个封闭曲线的积分
，f()是被积函数，dz表示微元素 ，z该表示奇点
，Res(t;z表示在奇点让的留数。

其中，$表示沿着某个封闭曲线的积分 ，f2)是被积函数
，dz表示微元素，表示奇点 ，Restz表示在奇点2处的留数 。

留数定理的积分公式可以帮助我们计算复杂函数的积分
，其中的留数是关键
。留数是指函数在奇点处的特殊取值，它可以通过对函数进行展开或求导等方法得到。通过计算函数的留数 ，我们可以得到函数在奇点处的积分值
，从而简化积分计算的过程 。

留数定理的积分公式在实际应用中具有广泛的用途
。例如，在电路分析中 ，我们常常需要计算电路中的电流或电压信号而这些信号往往可以表示为复杂函数。通过应用留数定理的积分公式，我们可以将复杂的电路分析问题简化为计算函数的留数
，从而得到所需的电流或电压值 。

2 、能计算以下三种定积分：

∫(0→2π) R(cosθ，sinθ) dθ
、各种三角函数
。

∫(-∞→+∞) Q(x)/P(x) dx ，其中Q(x)的次数至少比P(x)高二次、各种有理数。

∫(-∞→+∞) R(x)cos(ax) dx 与 ∫(-∞→+∞) R(x)sin(ax) dx 、各种有理数与三角函数的乘积 。

因此必须先注意积分限是否适合
，然后注意被积函数是否也适合
。

若不是以上的积分限，但能通过变换而转换得到的话 ，也能用留数定理。

留数定理在计算定积分中的局限性

若du=F(x)dx+G(y)dy的形式
，你的做法会是对的，但是一般不能两边同时积分 。因为：在du＝...dx+..dy的这种结果中 ，x,y同为变量
，而两边同时积分时，所有的积分都是不定积分 ，所以x与y必有一个被看作常量。

第一种做法是答案的做法
，实际上就是“凑微分”，利用微分的运算法则和公式
。

第二种做法称为偏积分法（有的书上也称为不定积分法） ，根据du的表达式，得到偏导数αu/αx
，αu/αy，然后对x或y进行不定积分。

本题为例 ，αu/αx＝xy+yf(x)=y
，两边对x积分，得u(x,u)=xy+φ(y) ，φ(y)待定
，它起的作用就是不定积分的任意常数 。

再根据αu/αy＝f(x)+y?=x-1+y?，代入u(x,u)=xy+φ(y) ，得x+φ'(y)＝x-1+y?
，所以φ'(y)＝-1+y?，积分得φ(y)＝-y+1/3*y^3+C
。

所以 ，u(x,y)=xy--y+1/3*y^3+C。

第三种做法是曲线积分法
，学到后就知道了 。

留数定理也不是万能的

能计算以下三种定积分：

∫(0→2π) R(cosθ，sinθ) dθ
、各种三角函数

∫(-∞→+∞) Q(x)/P(x) dx ，其中Q(x)的次数至少比P(x)高二次、各种有理数

∫(-∞→+∞) R(x)cos(ax) dx 与 ∫(-∞→+∞) R(x)sin(ax) dx 、各种有理数与三角函数的乘积

因此必须先注意积分限是否适合，然后注意被积函数是否也适合

若不是以上的积分限
，但能通过变换而转换得到的话，也能用留数定理

关于“什么是定积分和不定积分？ ”这个话题的介绍 ，今天小编就给大家分享完了
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